Funciones

Funciones.
Según Frank S. Budnick

Definición: Función
Una función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo
un valor de salida.
Dominio/rango
El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada
posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida
posibles.
A menudo el proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores
de entrada es conocido como mapeo. La notación
f:x:y
representa el mapeo del conjunto de valores de entrada x en el conjunto de valores de salida
y, usando la regla de mapeo f.
La naturaleza y la notación de las funciones
Las funciones, como las trataremos, sugieren que el valor de algo depende del valor de una
o más cosas diferentes. Hay incontables relaciones funcionales en el mundo que nos rodea.
El número de personas en una playa puede depender de la temperatura y el día de la semana,
las cantidades vendidas de un producto pueden depender del precio que se cobra por
producto y los precios de las marcas competidoras, las calificaciones pueden depender del
tiempo que un estudiante dedica al estudio, las tasas de impuestos de una ciudad pueden
depender del nivel del gasto municipal y la cantidad de dólares que un estado paga puede
depender del número de personas desempleadas.
El lenguaje matemático proporciona una manera de describir cómo se relacionan funcionalmente
las variables. La ecuación
y=f(x)
denota una relación funcional entre las variables x y y. Se puede describir verbalmente esta
ecuación como si “y es igual a f de x” o “y es una función de x”. No se debe interpretar
esta ecuación como “y es igual a f por x”. Cuando decimos que y es una función de x, queremos
decir que el valor de la variable y depende de x y se determina únicamente por el valor
de la variable x; x es la variable de entrada y y la variable de salida. Los papeles
respectivos de las dos variables hacen que la variable x reciba el nombre de variable independiente
y la variable y se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo
nos referimos a la variable y como el valor de la función. “f ” es el nombre de la función
o regla de mapeo.
Aunque y representa por lo general la variable dependiente, x la variable independiente
y f el nombre de la función, se puede utilizar cualquier letra para representar las variables
dependiente e independiente y el nombre de la función. La ecuación
u=g(v)
es una manera de expresar que se determina el valor de una variable dependiente u por el
valor de la variable independiente v. Y el nombre de la función o regla que relaciona las
dos variables es g.

Para la función y f(x), el valor de y que corresponde al valor de entrada x b se
denota con f(b).

Método de eliminación de Gauss

Método de eliminación de Gauss
Según Frank S. Budnick
El método de eliminación de Gauss comienza con el sistema de ecuaciones original y lo
transforma, usando operaciones de fila, en un sistema equivalente en el cual se puede leer
la solución directamente. Recuerde que un sistema equivalente es un sistema que tiene el
mismo conjunto solución que el sistema original. La figura 3.7 muestra la transformación
(es decir, el cambio de forma) que se desea al resolver un sistema de (2 2). En contraste
con el procedimiento de eliminación analizado en la sección anterior el sistema transformado
sigue teniendo dimensiones de 2 2. Sin embargo, las operaciones de fila han
transformado los coeficientes en variables de modo que sólo queda una variable en cada
ecuación; y el valor de esa variable (v1 o v2 en la figura 3.7) se da por el lado derecho de
la ecuación. Observe los coeficientes de cada variable en el “sistema transformado”.

Todas las operaciones de fila siguientes son necesarias en el procedimiento de eliminación
de Gauss. Dado el sistema de ecuaciones original, la aplicación de estas operaciones
da como resultado un sistema de ecuaciones equivalente.

Ecuaciones Tridimencionales

Sistemas de coordenadas tridimensionales
Según Fank S. Budnick
Es posible describir el espacio tridimensional utilizando un sistema de coordenadas tridimensional.
En tres dimensiones se usan ejes que son perpendiculares entre sí y se interceptan
en sus respectivos puntos cero. La figura 2.18 muestra un conjunto de ejes llamados por
sus variables x1, x2 y x3. El punto de intercepción de los tres ejes se denomina origen. Al
usar coordenadas de tres componentes (tríos ordenados), (x1, x2, x3), las coordenadas del
origen son (0, 0, 0).

Observe que al trazar tres dimensiones en papel (bidimensional) se requiere cierta perspectiva
que puede ser difícil distinguir a primera vista. Podría haberse dibujado la figura 2.18
como si se estuviese viendo justo “debajo” del eje de las x2. En ese caso no se tendría sentido
de profundidad o localización respecto del eje de las x2. Por tanto, se giran los ejes de
coordenadas al rotar el eje x3 en el sentido de las manecillas del reloj. Esto permite tener sentido
de profundidad cuando se dibuja el eje de las x2 en un ángulo.
Así como los ejes de coordenadas de dos dimensiones dividen el espacio bidimensional
en cuadrantes, los ejes en tres dimensiones dividen el espacio tridimensional en octantes.
Esto se ilustra en la figura 2.19. Observe las características de signo en cada octante. Las
coordenadas de tres componentes permiten especificar la posición o dirección de cualquier
punto en tres dimensiones.

Integrales en la física (su aplicación).
Según Frank S. Budnick
Integrales definidas

La integral definida puede interpretarse como un área y como un límite. 

Definición: Integral definida

Si f es una función acotada en el intervalo [a, b], se definirá la integral definida de f

en los siguientes términos:

la condición de que exista este límite, a medida que el tamaño de todos los intervalos

de la subdivisión tienda a cero y, por lo tanto, el número de intervalos n se aproxime

al infinito.

El lado izquierdo de la ecuación  muestra la notación de la integral definida

Conforme al teorema fundamental del cálculo integral, la integral definida puede evaluarse

ya sea: 1) determinando la integral indefinida F(x) C, y 2) calculando F(b) F(a),

algunas veces denotada con F(x)]b

a. Como se verá en el siguiente ejemplo, no hay necesidad

de incluir la constante de integración al evaluar las integrales definidas.

Cuando se evalúan integrales definidas, siempre se resta el valor de la integral indefinida

en el límite inferior de integración, al valor del límite superior de integración. La constante

de integración invariablemente desaparece en este cálculo, como sucedió en el ejemplo.

Por lo tanto, no se necesita incluir la constante al evaluar las integrales definidas.